日历

2025 - 1
日 一 二 三 四 五 六
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
«月» 2025 - 1 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 DK&@Mrc  
H.(FA -q  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. D `eci   
b !J/s=  
　　1、三角函数本质： :@CA?NE\  
%} Vr+s=  
　　三角函数的本质来源于定义 PC$>%Z>5  
Bx C( 5x  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 zs@H_*-  
oc"Q. PFl  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 {8m](2tr1  
AVd7  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： >WjQm' )  
BgwSsF y  
　　推导： loDFGFq&o  
$;3hc94^  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 X9I;W+~  
:~IOvDfp  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ,qyib*  
c,GvJ YV  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) V2%ea50  
!Ot JEr.  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 =XR"};D{T2  
*,5_+;+FYA  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 20w,`k iE)  
zSrie"[m/  
　　[1] A`[ 2 E]2k  
a8tb >  
　　两角和公式 '=;SswL  
{ q-N2  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 3SfLe4xv6  
b2t1+fo+  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Y ^n4v  
$b f8d^.n  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB R0Vttck/=  
A[LG A  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB @:f>5PRM9  
00=(NGy  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) a|,VO6n  
<1\0b+0-  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 4{9mvHe  
+c$HHrv ad  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  h&Vi3B5#  
,:.sdPJm  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~ Cw4,F a  
@P h LE  
倍角公式 HsSF  
a.;mv@u V  
　　Sin2A=2SinA•CosA cy()F6q  
qx9MzDp)f_  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 m(Kq  
*B`}Y   
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） m%A=P []  
"%pV0{ e  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ^yq1-}UO  
Bi|+ 5co0;  
三倍角公式 od&zaTIX8  
;:M&7`/%$  
　　 N/h|(OY;S  
ui'>O&Hg  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) NRIF"lA  
n H5V\  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \qQhDp\?R  
sA oLK25  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) k%E;39]t?'  
y>g '!  
三倍角公式推导 S*a^  
Y {nP-  
　　sin3a oz+B"9  
H2/bzh@  
　　=sin(2a+a) )2zl7[<e_  
g%Z/pwAt  
　　=sin2acosa+cos2asina 3 2=7%LJ  
K#92KX  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina i9SdJ$b+  
,L|7/ K"e  
　　=3sina-4sin³a OxkF}Yf&:  
; +o SIS  
　　cos3a xf}ark26  
p!vGh~_8XO  
　　=cos(2a+a) s%pK8%,lR  
.$J!6#/  
　　=cos2acosa-sin2asina 0Vp@ B  
1YH9~Qy8\  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa v|qbVc  
$ZvVm'  
　　=4cos³a-3cosa 4*]jT<I  
^@3i<eFG  
　　sin3a=3sina-4sin³a -:6x9uT 4  
#`ZzB0"O  
　　=4sina(3/4-sin²a) 94Wb,n/  
<zj[.[+  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] U<_:Lq  
PoD'f"  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) yw5W0 -  
Y^xrA2e)  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 8# k=@ZK  
yhzG%C6n  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] C[k-M\I  
B9h,Sf  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Z?.kYaU1  
Lr* =]  
　　cos3a=4cos³a-3cosa i_;71T(hM  
m4J7Tmi*  
　　=4cosa(cos²a-3/4)  IO+\m  
3KL5'%!Ohk  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] s0~~CC\|  
;}/- hh5r  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) fE8nHz  
2Te&HS;"  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =1wEjC~  
A.$%E&N!^  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} n9 /;!K  
aF8823Y*P  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) XVjcv2  
ar[:)RJ]  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] B,A?R,G[-  
<V >g i<t  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] c[EAsT30W  
r2tal8k  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) * M[xD3NW  
N?K(yn+p_  
　　上述两式相比可得 1~^H7"gE=  
a5ZEiMOwf  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) tcK]Sda  
<]udb'[<>  
半角公式 I./Nfg0""  
ixQW#z[^  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); HaXsik)  
|"W9YY  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Bq/ -6= N  
tfchoS"bW  
和差化积 [t7k/S5}O  
$?N{":XOy  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] _2.P<Z,W~0  
hFx7AxOE]!  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] SM#QT=R  
^<-k":7  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] OPaV?0  
'r ) vOy&  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] c=Z_Y;1mG  
#Vssb  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) e 6ox92 I  
IQV/0c (  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) y0H39-<  
b#0_WaDz  
积化和差 iPd= ~x d  
U>L5[  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] j/$nb\z6  
s<,kx]8]NO  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Ecq-P mE  
d5|sD$[  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] wP~bO 2C!  
Vl8y8 &&  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ":dT 'y* -  
]GB#i.3  
诱导公式 G]lqHpyeu  
?7#nC'  
　　sin(-α) = -sinα huFS*v  
u<sByJ[U  
　　cos(-α) = cosα LT%--<;r2  
k:hV5?  
　　sin(π/2-α) = cosα >`9+,gfuC  
l5fOu   
　　cos(π/2-α) = sinα $AqB8taR  
Bcw~fECa  
　　sin(π/2+α) = cosα .i:oP+7#0  
_4{{5M(!  
　　cos(π/2+α) = -sinα -W QMYH-M  
)z@U^^4|!  
　　sin(π-α) = sinα g["!6&\O  
VUC1hI c  
　　cos(π-α) = -cosα R~{_9AsT  
+^p=z#9\8  
　　sin(π+α) = -sinα Wle<ot_  
(K#]SMz  
　　cos(π+α) = -cosα vpMU)w  
-pJR@M 4  
　　tanA= sinA/cosA kPpk20-Y  
U<d VDp+%  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα L$.qqix,y  
ifh[+MOQ@Q  
　　tan（π/2－α）＝cotα [ :Bhu?u  
7+q@*z=@  
　　tan（π－α）＝－tanα 3y`xrjZ!  
HD g}=}  
　　tan（π＋α）＝tanα S .zf(0eC  
}/&LWrc=  
万能公式 ;ZT{m&>J  
VI#c  
　　 w@ qo?.  
=A2Nl6Ml  
其它公式 QC1_6(j*  
d(vh|&p  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 N^zp=M!~  
p+ 9ptwF  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 #ugCI@  
A7VK|0xSB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 bmO3,)H-sB  
Y]\ )`w  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 KPc<>tV~p  
0~"VbEGi  
　　对于任意非直角三角形,总有 .pF z8L  
)>\TLRHxB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P`g4<&6  
RA ,Ij3A  
　　证: ,vUojk|]  
mwu*`F@m  
　　A+B=π-C |*" u [R  
PZIM.M  
　　tan(A+B)=tan(π-C) iRO)<G`Y>  
fJ8A }7b"  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) w!hBJ` 9  
ln\W4 ]@:  
　　整理可得 :\0=@p=w`V  
#! NX\_D  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cZK.C(r-j  
7%H`M\*  
　　得证 QTYH5W?Ir  
sDlT`0:xSI  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 j@dUabj1  
-<q"D$Ey-  
其他非重点三角函数 xW*T|U|4PR  
~$,ZALH8mi  
　　csc(a) = 1/sin(a) F^] :D7{[j  
y= })OiM  
　　sec(a) = 1/cos(a) $8oy:%l;  
|h -R9 d  
　　 ~]ouk%/w%  
5C uoamTH  
双曲函数 O2IMtq!K  
#6+P] r  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 _csl<V6  
g-5j.q3{c  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 bwb= Tra  
( ?e)!QH6  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) xwlfD{'  
5+d Q"  
　　公式一： ^y -y@x  
  }=Bq  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： AA`sC6Vin  
@HvY$u|3A]  
　　sin（2kπ＋α）= sinα c}/: /?  
GkZ6h[,S  
　　cos（2kπ＋α）= cosα )M8._QFz  
n-[(1bs`  
　　tan（kπ＋α）= tanα coMw4mN  
[\7y?O9.  
　　cot（kπ＋α）= cotα dy\.zk  
ip,-+3mO 8  
　　公式二： *WkA\2m  
Wb83sN}%K  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 5 ay&{  
joUVUUyx  
　　sin（π＋α）= -sinα 5~eb 9Fq  
np_xfR  
　　cos（π＋α）= -cosα W$,1LvN  
;DO#=  
　　tan（π＋α）= tanα 0P$cA'y  
%aaj C \oj  
　　cot（π＋α）= cotα #jHnd _m  
y4jy iR  
　　公式三： %/Hio]M~  
5ORtD@2`  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： /[uhh3R0  
G(=6 1-`  
　　sin（-α）= -sinα Wn(`r:apn  
Std K<p.'  
　　cos（-α）= cosα kDW}@W"  
`I#1>"'u=  
　　tan（-α）= -tanα *"ry) <4  
]r,L4x1  
　　cot（-α）= -cotα 6KJ<@;  
K5F0-j4  
　　公式四： lp>dhD3H  
a]8t!A T"l  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Xu)8 [/O  
X\%B1HP  
　　sin（π-α）= sinα O2wB=={v  
wPb| :3+-  
　　cos（π-α）= -cosα Jfo[v9G:  
"9/|Dk  
　　tan（π-α）= -tanα /"'pTqo  
qxo;r7/}  
　　cot（π-α）= -cotα 2pV\[hY  
|(#>, iB  
　　公式五： QAhQA|  
hV<dWB8Es<  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： U &N6}G  
A>#B S>:L  
　　sin（2π-α）= -sinα 'Lw93,& o  
f` q>8Y  
　　cos（2π-α）= cosα Jlb"[? m  
<_vbuchw  
　　tan（2π-α）= -tanα iC {@[4<b  
IDa7IO^  
　　cot（2π-α）= -cotα 't ?n2L  
m~ w[{C$b  
　　公式六： )^-JI- >  
t]jtj qK t  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ?#4JHND;"  
#]<~uNF}  
　　sin（π/2+α）= cosα yCGUEzqM"  
BhTdNVw5  
　　cos（π/2+α）= -sinα _i<I8pC13  
ShLK,E0K  
　　tan（π/2+α）= -cotα fYsBRH'  
q 3g=4@_;8  
　　cot（π/2+α）= -tanα EvP&|([  
C~P~1@F_  
　　sin（π/2-α）= cosα i-Jqe _  
:@;<c(EDq  
　　cos（π/2-α）= sinα !#TYA':`  
mI@A0!  
　　tan（π/2-α）= cotα !goEqhV'  
z4-=L+ N  
　　cot（π/2-α）= tanα /KCtJyO&w  
-G6  |iw  
　　sin（3π/2+α）= -cosα }y"(pP )  
xxh3oSb-l  
　　cos（3π/2+α）= sinα fV3tV^\  
l"NuH  
　　tan（3π/2+α）= -cotα :!Gx["_0F#  
A^' ]R.(  
　　cot（3π/2+α）= -tanα #:{Ui1ot  
6lf7+b%  
　　sin（3π/2-α）= -cosα }.A4ucufX  
^?bH0"Rl  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Mq+n"&XC  
cCF+.< H  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^Ov3!o\e  
=CDWV2o  
　　cot（3π/2-α）= tanα |Qj=&5{  
/6AgYatW  
　　(以上k∈Z) DhQQvDL$D  
pZ 3!Dsf  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ?$rwKI}3z  
GVVg%JQD.  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /j(CN'Ey  
i .WVId  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } d;'6s4;  
.FC5{RUo  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15329) |  收藏