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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 367+$2`V  
yO25nAaS  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. F.o#D  
^9 gaX;E  
　　1、三角函数本质： EByY9t[P  
k5U~8sV"  
　　三角函数的本质来源于定义 t5HaV!r]C  
XzG~ZWRjD  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 I)KBjh  
&?b9m7@f~  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ey i)\8"  
:<O:.8f$   
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： U Dy\F^  
" ++  
　　推导： oA*nOf`I  
foCJu&Q!  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 KxeEk}z  
E=ADBo7  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^R_FR P~  
!#F,`D  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @r>? 2[  
e~ny!d;>  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 X9Wl"og>!  
d~yL[.j~|  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） .$ cJin^  
&pl;'}8*~  
　　[1] SE!.^p~oY  
tE{2]J{pxG  
　　两角和公式 yQrjlxWR3  
Yrd 9Y\|  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB CFT.i![  
Ppk>\  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  SgMty'r<  
ZE<<p0|t  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @zuPf[j  
rQvtE`}  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB XJ ]oe?q8  
Q, e's(p  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Qcp]GFD-  
,rzCRG=  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 7Hqy$nXa  
"LkVj/_;J  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  plW*8C  
V5#SZ6vz  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Vhc7iZXy#  
C Z}NL\M  
倍角公式 FY2xA0z  
,0CE{bBG  
　　Sin2A=2SinA•CosA (^mj ><  
2jhi{nI^!f  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Rr_r:*  
X>GjIf  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） s]MR03  
oz0-3a& 9q  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） x?l4X5.z:  
 D'[597l7  
三倍角公式 " ,}!lH)<o  
`Yu_8!2b  
　　 Oyx%/}U  
I2VO8a'v  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ]BUchQ  
z>&:PC1  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) oSjWBv]A  
6]]!U  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) {}h2pJA  
,*-(,zM:{  
三倍角公式推导 xM,1D:F  
n5j%Z4_n#w  
　　sin3a UAv4;s`g  
#(50U c"  
　　=sin(2a+a) I8a%td  
.Nn+d Z  
　　=sin2acosa+cos2asina JE/i/}zD  
jJ`* g3/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina LX|_lWf7Aq  
 pz'4c  
　　=3sina-4sin³a ?qi2tm2  
R 9X-IMt  
　　cos3a x fA9@=b5  
mlg+qm6W  
　　=cos(2a+a) ^'Bhd{2  
L%lG6 ^  
　　=cos2acosa-sin2asina u25)CdL  
c 0J~pc\  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa @,sv%~  
/MBtxIVy  
　　=4cos³a-3cosa HfP<6*=Cw  
NEs/wwu#  
　　sin3a=3sina-4sin³a P c$wMCTN*  
9<p)7`F"  
　　=4sina(3/4-sin²a) /y|-z4=!'  
DV8%.Fo  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] M_|{x  
q),#`L-]1  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) O1>O"i d_$  
(nNio)%6c  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) #5% =%5  
Tu    
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] PbXe|dNMf;  
"I.kgui1(  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ` ? 2gAyg`  
BE BAO28gj  
　　cos3a=4cos³a-3cosa A|m dm#=  
V tw+6Z  
　　=4cosa(cos²a-3/4) )|-OYC4xuc  
@fly0  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] edT0\J  
Wk'QHd^  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 9pm*h(nE  
eo'Cs.-   
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) e=7Cj[Z  
fBXTO0J?5;  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} li28#cF  
E0zb 1]v`  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) TfioIw 0l&  
{ B@D'i  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] :?Sm&VJ13  
EX4'W V  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] i6& qTz}  
}ul6Q%j'}E  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) K;ylPAQ3  
&p58U0  
　　上述两式相比可得 8Qh,<g {b  
MS.9y>^  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) WHtAA G-  
Ilu<e6m   
半角公式 Y]u#BF =  
2o _^S^e  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); frA.S_>)J  
:;TM|k$  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Q@`iv 3  
rND567w7  
和差化积 4!+RsJ#uN  
I=/6BUB  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] v)kgHNgq3  
[)7K ;`iY  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] D>+dT0e  
J`OM=,2  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] RQy "eF  
C-. ~!z,  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R[ p|  
g=ry]^u  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ?G'BA1N}=  
S/(Yw  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) _.NeZO   
~|)hP)T  
积化和差 Q#(F d  
q8TI@A  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] v]m"#p%g  
WokCmB  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 0;\-T3@  
f= SJj9@Q  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 3A !.Az~  
Jbm hYAY<d  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] y{?7  
?2|bd35  
诱导公式 'I4fbK  
;0>dTPPUx7  
　　sin(-α) = -sinα U+0G/2b  
# ',~z];  
　　cos(-α) = cosα 'P])%Z<  
/QrFq5]n  
　　sin(π/2-α) = cosα dqg n R  
<] hM"% @  
　　cos(π/2-α) = sinα ^8tjGamA[  
s-qW,Js#  
　　sin(π/2+α) = cosα x~6 !iAM:  
{A=4\5n  
　　cos(π/2+α) = -sinα ?0aad  
M6T  
　　sin(π-α) = sinα IS3?y=u}S  
.IV,a\ ,ZO  
　　cos(π-α) = -cosα jxr]P) u  
xo$xWU!s  
　　sin(π+α) = -sinα  BquFgJz%  
)`)Xu,  
　　cos(π+α) = -cosα 6&t>|"  
B=H}cw{r  
　　tanA= sinA/cosA j@]P[iT  
/Y0dJ  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα -`w1\|+  
tKz& wkK  
　　tan（π/2－α）＝cotα 7jQtKl^  
$IQ^+.Hx  
　　tan（π－α）＝－tanα K=x}6:fF  
1sG*`7@q  
　　tan（π＋α）＝tanα VA-L}CfK  
>%S6  
万能公式 j>V*#O8  
Ou.Sk'NRkm  
　　 n>3 os @  
n.|Y|QIqM  
其它公式 5_*t'2(|*T  
WsA|WVR0`  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ]3; `4DqH  
T? tsg  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 x1+um 5  
.}jFJ:k  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 S`9]m?GK  
"B\Z #@2[  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 (hQHv1>  
f;lW%3v.$  
　　对于任意非直角三角形,总有 h,`Ocxs?b  
xQ,.iLa*Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC g5:2'D  
tp[@)A  
　　证: bLT.1e1|  
Ho#}bT7/  
　　A+B=π-C x?ZV6~  
y 'iEgYm j  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ZY UUx$m>  
wM]6rY+  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ja $y<  
B&yF,7@  
　　整理可得 \gpPC] /  
oDy9^CF]+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC qZL`TRF  
q!k&[5*  
　　得证 <]} vrc  
xmlFdp[|^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 go<>^"J  
Js_|G6iZ  
其他非重点三角函数 jAjc/&)ps  
k-+n[51J  
　　csc(a) = 1/sin(a) Dx]X6D$  
y#s[rNLl  
　　sec(a) = 1/cos(a) @}YHnIM  
L#7,wnS  
　　 w*(h>Dx6[  
K6wIaTA  
双曲函数 14'-L 7*  
7Fi9M8@Km  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 k"y!7@0X.g  
pq\q3  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 E`.T!ds  
l`\;]^ Y  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) PR&Z1%6{  
5aUQ,J >5  
　　公式一： AY]pqU:k  
zxvSdT-D  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： |x@C/ `P&  
-) YZ 4^2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 4yM)3+  
Zk OrS^  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ZmT?>+I&  
i'F5b   
　　tan（kπ＋α）= tanα 7&\O}}wBv  
,},#^j*t  
　　cot（kπ＋α）= cotα ~S<dEt  
{ZGoz'  
　　公式二： !@"\X V  
~X<_:73'  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： $[xr4x L  
_GpywC 8  
　　sin（π＋α）= -sinα ^8lK%c =  
wXh~0v _  
　　cos（π＋α）= -cosα h%L\Q?5Of  
B9< %a;M#  
　　tan（π＋α）= tanα <:V(^u{i  
F@Zw!-K  
　　cot（π＋α）= cotα U"`z0z  
o4d*oXc2  
　　公式三： Ng$^c; f  
\> eyJ(  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： |vUDuZ$  
[_R!R5U s  
　　sin（-α）= -sinα |Syn>y  
L >" @jm  
　　cos（-α）= cosα tuK;mkO>  
~PUp?w|  
　　tan（-α）= -tanα x7o~{Bc4J  
09F8 0y[c"  
　　cot（-α）= -cotα * H '$ovSW  
da C}0 I  
　　公式四： ,0,+9;R  
u`pi$"  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： R0yzp,P  
KOq`1-s  
　　sin（π-α）= sinα di"Tck7  
2t{,vk  
　　cos（π-α）= -cosα tUW$"6^;'  
q~ZA9V  
　　tan（π-α）= -tanα ~nuMpjC  
F[!l&J-a  
　　cot（π-α）= -cotα j2I]!Qgt  
-CXRLmXV  
　　公式五： =kCF|/R#_  
uu%u[ayP  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： d?.f^ hD  
3x ]B;nrS  
　　sin（2π-α）= -sinα -l8fQnK1  
9-R .npw  
　　cos（2π-α）= cosα Hbm!<[ $$  
1n#*0b  
　　tan（2π-α）= -tanα M^S/?m_V  
1wu+,':+  
　　cot（2π-α）= -cotα #4#?VFw  
*.s@Zc  
　　公式六： J\Oq V *  
72H: h-F][  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： bo(h,go}:  
zHd@ to  
　　sin（π/2+α）= cosα -O ;2j= J  
),4V5sPW{  
　　cos（π/2+α）= -sinα JQ&}?Ji]  
>b9Y1B>  
　　tan（π/2+α）= -cotα ug~3a`:\  
}q6"~~4}  
　　cot（π/2+α）= -tanα \ V"EQ<Fc  
9O?`'t~^8  
　　sin（π/2-α）= cosα ?3Xsj`  
xJ(w9a  
　　cos（π/2-α）= sinα [Qirl#%  
F#%<boa  
　　tan（π/2-α）= cotα emc%(?rX  
e owl2/  
　　cot（π/2-α）= tanα 8Z)KK%L  
oV3#` RF  
　　sin（3π/2+α）= -cosα hA#U7dKu,Q  
sNJR<_oKin  
　　cos（3π/2+α）= sinα >Q1dwo y<  
z'Wl+Y!  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 'r|2Qf5T  
yGa,^WdL#V  
　　cot（3π/2+α）= -tanα T=wF3QW*  
t > &gi  
　　sin（3π/2-α）= -cosα /[>a82})n  
PpTp0s~^F  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Q_\r<  
OLR+JPD#^  
　　tan（3π/2-α）= cotα qFxY&xJH  
W)y$B*$%  
　　cot（3π/2-α）= tanα Q>7!1SP c  
%9\.Ix#Nz  
　　(以上k∈Z) zj2tD#x!T  
7MH(PE   
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 * Kt/  
.Q)eo035m  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Zgh!To(l  
d7ahUm  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } wn.j/K1  
xhT'(h(l  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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